Název: Aplikovaná matematika A Zkratka: AMA Typ: povinný Rozsah: 14 týdnů, týdně 6 hodin přednášek + 2 hodiny seminárních cvičení Kredity: 9 Způsob ukončení: zkouška Katedra: katedra modelování procesů FM TUL Přednášející: Doc. Dr. Ing. Jiří Maryška, CSc. (75%)
Doc. RNDr. Petr Volf, CSc. (25%)
Stručná anotace předmětu:Základy vektorové analýzy, křivkové a plošné integrály I. a II. druhu, základy funkcionální analýzy, metrické prostory, Hilbertovy a Banachovy prostory, prostory hladkých a integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory, soustavy obyčejných rovnic, analytické řešení, metody Runge-Kutta, parciální diferenciální rovnice, klasifikace a charakteristika řešení, metoda konečných diferencí. Předmět dále zahrnuje vybrané partie z teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky a úvod do problematiky náhodných procesů. Seznamuje také s vybranými moderními metodami statistického modelování a analýzy dat.
Témata přednášek:Křivkový a povrchový integrál I. a II. druhu, fyzikální interpretace a příklady.
Definice Cauchyovy úlohy pro soustavu obyčejných diferenciálních rovnic, existence a jednoznačnost řešitelnosti úlohy. Soustava obyčejných lineárních rovnic 1. řádu, vlastnosti, výpočet fundamentálního systému řešení a standardní fundamentální matice, vlastnosti. Metoda variace konstant. Stabilita soustavy. Runge-Kuttovy metody.
Vybrané partie z funkcionální analýzy. Metrické prostory, metrika, příklady. Pojem normy, úplné normované prostory (Banachovy prostory) a prostory se skalárním součinem (Hilbertovy prostory). Základní prostory hladkých funkcí a prostory integrovatelných funkcí. Lebesgueovy a Sobolevovy prostory, příklady.
Definice parciální diferenciální rovnice (rovnice matematické fyziky), příklady. Zavedení diferenciálních operátorů vektorové analýzy a jejich aplikací. Prostory funkcí, prostory se skalárním součinem, Greenova formule a její důsledky. Odvození rovnice potenciálu, vedení tepla, elektrického a magnetického pole, ohybu membrány, úlohy lineární pružnosti, vlnová a telegrafní rovnice. Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu. Pro uvedené eliptické problémy budou formulovány okrajové úlohy s homogenní i nehomogenní okrajovou podmínkou Dirichletova, Neumannova i Newtonova typu i úlohy se smíšenou okrajovou podmínkou. Pro parabolické a hyperbolické problémy bude formulována počátečně-okrajová úloha. Dále bude vysvětlena Fourierova metoda a princip maxima pro parabolické rovnice. Metoda konečných diferencí pro eliptické ve dvou dimenzích a parabolické i hyperbolické rovnice v jedné prostorové proměnné. Úvod do variačního počtu a jeho aplikací v rovnicích matematické fyziky .
Základní typy rozdělení pravděpodobnosti, jejich charakteristiky a aplikace na vybrané modelové situace (měření s chybou, statistické přejímky, analýza životnosti).
Metody statistické analýzy dat. Exploratorní a grafická analýza, estimace parametrů modelu, maximálně věrohodné odhady, výpočty, vlastnosti, testy. Regresní analýza, prokládání křivek daty, jádrový odhad, polynomy, regresní spliny. Analýza rozptylu. Hlavní komponenty - využití. Klasifikace, základní metody, aplikace. Rozpoznávání, klasifikační strom. Bayesovy metody v analýze dat, modelování a rozhodování (Bayesovy sítě).
Náhodné procesy. Základní pojmy, Brownův pohyb, Gaussovy procesy. Časové řady, stacionarita, autoregrese. Markovovy řetězce, náhodná procházka. Poissonův proces, model hromadné obsluhy. Náhodné pole, ukázky modelů a analýzy textur, obrazových dat.
Monte Carlo metody. Generování náhodných veličin a procesů, využití v modelování a analýze systémů.
Náplň cvičení:Cvičení budou tematicky navazovat na přednášku. Budou probíhat v počítačové učebně. Součástí bude seminární práce studentů.
Literatura:/1/ Nagy,J.: Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Praha, MVŠT, SNTL 1983
/2/ Míka, S. - Kufner,A.: Parciální diferenciální rovnice I. Stacionární rovnice. Praha, MVŠT, SNTL 1983.
/3/ Barták, J., Herrmann, L., Lovicar,V., Vejvoda,O.: Parciální diferenciální rovnice II. Evoluční rovnice. Praha, MVŠT, SNTL 1988.
/4/ Vitásek, E.: Numerické metody. Praha 1993.
/5/ Rektorys, K.: Variační metody. Praha 1999.
/6/ Likeš, J. - Machek, J.: Matematická statistika. Matematika pro vysoké školy technické, SNTL, Praha 1988.
/7/ Antoch, J.- Vorlíčková D.: Vybrané metody statistické analýzy dat. Academia Praha, 1992.
/8/ Anděl, J.: Statistické metody. Matfyzpress Praha, 1998.
/9/ Linka, A., Picek, J., Volf, P.: Úvod do počtu pravděpodobnosti. Skripta TUL, 2001.
Prerekvizity: Matematika I - IV, Fyzika I-IIINavazující: Metoda konečných prvků, Modelování
Datum poslední změny: 18.1.2002