Název:	Aplikovaná matematika B
Zkratka:	AMB
Typ:	povinný
Rozsah:	14 týdnů, týdně 6 hodin přednášek + 2 hodiny seminárních cvičení
Kredity:	9
Způsob ukončení:	zkouška
Katedra:	katedra modelování procesů FM TUL katedra řídicí techniky FM TUL
Přednášející:	Doc. Dr. Ing. Jiří Maryška, CSc. (50%) Doc. RNDr. Petr Volf, CSc. (25%) Doc. Ing. Josef Janeček, CSc. (25%)

 
Stručná anotace předmětu:

Základy vektorové analýzy, křivkové a plošné integrály I. a II. druhu. Soustavy obyčejných rovnic, analytické řešení, metody Runge-Kutta, parciální diferenciální rovnice, klasifikace a charakteristika řešení, metoda konečných diferencí. Předmět dále zahrnuje vybrané partie z teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky a úvod do problematiky náhodných procesů. Seznamuje také s vybranými moderními metodami statistického modelování a analýzy dat.
Z-transformace jako základní teoretický aparát pro práci s diskrétními systémy, diskrétní popis spojitých systémů. Lineární diferenční rovnice, jejich analytické i numerické řešení, stabilita včetně kriterií.

 
Témata přednášek:

Křivkový a povrchový integrál I. a II. druhu, fyzikální interpretace a příklady.

Definice Cauchyovy úlohy pro soustavu obyčejných diferenciálních rovnic, existence a jednoznačnost řešitelnosti úlohy. Soustava obyčejných lineárních rovnic 1. řádu, vlastnosti, výpočet fundamentálního systému řešení a standardní fundamentální matice, vlastnosti. Metoda variace konstant. Stabilita soustavy. Runge-Kuttovy metody.

Definice parciální diferenciální rovnice (rovnice matematické fyziky), příklady. Zavedení diferenciálních operátorů vektorové analýzy a jejich aplikací. Prostory funkcí, prostory se skalárním součinem, Greenova formule a její důsledky. Odvození rovnice potenciálu, vedení tepla, elektrického a magnetického pole, ohybu membrány, úlohy lineární pružnosti, vlnová a telegrafní rovnice. Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu. Pro uvedené eliptické problémy budou formulovány okrajové úlohy s homogenní i nehomogenní okrajovou podmínkou Dirichletova, Neumannova i Newtonova typu i úlohy se smíšenou okrajovou podmínkou. Pro parabolické a hyperbolické problémy bude formulována počátečně-okrajová úloha. Dále bude vysvětlena Fourierova metoda a princip maxima pro parabolické rovnice. Metoda konečných diferencí pro eliptické ve dvou dimenzích a parabolické i hyperbolické rovnice v jedné prostorové proměnné. Úvod do variačního počtu a jeho aplikací v rovnicích matematické fyziky .

Základní typy rozdělení pravděpodobnosti, jejich charakteristiky a aplikace na vybrané modelové situace (měření s chybou, statistické přejímky, analýza životnosti).

Metody statistické analýzy dat. Exploratorní a grafická analýza, estimace parametrů modelu, maximálně věrohodné odhady, výpočty, vlastnosti, testy. Regresní analýza, prokládání křivek daty, jádrový odhad, polynomy, regresní spliny. Analýza rozptylu. Hlavní komponenty - využití. Klasifikace, základní metody, aplikace. Rozpoznávání, klasifikační strom. Bayesovy metody v analýze dat, modelování a rozhodování (Bayesovy sítě).

Náhodné procesy. Základní pojmy, Brownův pohyb, Gaussovy procesy. Časové řady, stacionarita, autoregrese. Markovovy řetězce, náhodná procházka. Poissonův proces, model hromadné obsluhy. Náhodné pole, ukázky modelů a analýzy textur, obrazových dat.

Monte Carlo metody. Generování náhodných veličin a procesů, využití v modelování a analýze systémů.

Z-transformace, definiční vztahy, podmínky existence obrazu, obrazy elementárních funkcí, základní vlastnosti Z-transformace. Inverzní transformace racionální lomené funkce, rozvoj v Laurentovu řadu dlouhým dělením, rozklad na parciální zlomky, Heavisideova věta. Diferenční rovnice, její ekvivalentní tvary a podmínky fyzikální realizovatelnosti, numerické a analytické řešení, Pierceův algoritmus. Lineární diskrétní systém, podmínky stability, algebraická kritéria, obrazový přenos, přechodová a váhová funkce, statické zesílení, vzájemné souvislosti. Diskrétní model spojitého systému buzeného schodovou funkcí, tvarovač.

 
Náplň cvičení:

Cvičení budou tematicky navazovat na přednášku. Budou probíhat v počítačové učebně. Součástí bude seminární práce studentů.

 
Literatura:

/1/ Nagy,J.: Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Praha, MVŠT, SNTL 1983

/2/ Míka, S. - Kufner,A.: Parciální diferenciální rovnice I. Stacionární rovnice. Praha, MVŠT, SNTL 1983.

/3/ Barták, J., Herrmann, L., Lovicar,V., Vejvoda,O.: Parciální diferenciální rovnice II. Evoluční rovnice. Praha, MVŠT, SNTL 1988.

/4/ Vitásek, E.: Numerické metody. Praha 1993.

/5/ Rektorys, K.: Variační metody. Praha 1999.

/6/ Likeš, J. - Machek, J.: Matematická statistika. Matematika pro vysoké školy technické, SNTL, Praha 1988.

/7/ Antoch, J.- Vorlíčková D.: Vybrané metody statistické analýzy dat. Academia Praha, 1992.

/8/ Anděl, J.: Statistické metody. Matfyzpress Praha, 1998.

/9/ Linka, A., Picek, J., Volf, P.: Úvod do počtu pravděpodobnosti. Skripta TUL, 2001.

/10/ Vích,R.: Transformace Z a některá její použití. Praha, SNTL 1979.

 
Prerekvizity: Matematika I - IV, Fyzika I-III

Navazující:   Náplň předmětu tvoří teoretický základ mnoha předmětů oboru AŘII (Automatické řízení, Číslicové řízení, Simulace diskrétních systémů, Identifikace dynam. systémů, Stavová regulace, Algebraická syntéza regul. obvodu, Robustní řízení, Adaptivní řízení, Vyšší formy řízení, …), Metoda konečných prvků.

 
Datum poslední změny: 24.1.2002