Název: Matematika VIb Zkratka: M6B Typ: povinný Rozsah: 14 týdnů, týdně 2 hodiny přednášek + 1 hodina seminárního cvičení Způsob ukončení: zápočet Katedra: katedra modelování procesů FM TUL Přednášející: Doc. Dr. Ing. Jiří Maryška, CSc.
Stručná anotace předmětu:Definice a řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu obyčejných diferenciálních rovnic. Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu. Matematické modely rovnice potenciálu, vedení tepla, elektrického a magnetického pole, ohybu membrány a úloh lineární pružnosti včetně zavedení přirozených okrajových podmínek. Metoda konečných diferencí pro eliptické rovnice. Fourierova metoda a princip maxima pro parabolické rovnice, metoda konečných diferencí parabolické a hyperbolické rovnice.
Témata přednášek:Definice Cauchyovy úlohy pro soustavu obyčejných diferenciálních rovnic, existence a jednoznačnost řešitelnosti úlohy. Soustava obyčejných lineárních rovnic 1. řádu, vlastnosti, výpočet fundamentálního systému řešení a standardní fundamentální matice, vlastnosti. Metoda variace konstant. Putzerova metoda výpočtu standardní fundamentální matice a metoda rozvoje v mocninnou řadu. Stabilita soustavy.
Definice parciální diferenciální rovnice (rovnice matematické fyziky), příklady. Zavedení diferenciálních operátorů vektorové analýzy a jejich aplikací. Prostory funkcí, prostory se skalárním součinem, Greenova formule a její důsledky. Odvození rovnice potenciálu, vedení tepla, elektrického a magnetického pole, ohybu membrány, úlohy lineární pružnosti, vlnová a telegrafní rovnice. Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu. Pro uvedené eliptické problémy budou formulovány okrajové úlohy s homogenní i nehomogenní okrajovou podmínkou Dirichletova, Neumannova i Newtonova typu i úlohy se smíšenou okrajovou podmínkou. Pro parabolické a hyperbolické problémy bude formulována počátečně-okrajová úloha. Dále bude vysvětlena Fourierova metoda a princip maxima pro parabolické rovnice. Metoda konečných diferencí pro eliptické ve dvou dimenzích a parabolické i hyperbolické rovnice v jedné prostorové proměnné. Úvod do variačního počtu a jeho aplikací v rovnicích matematické fyziky .
Náplň cvičení:Řešení obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu a jejich soustav
Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic
Metoda konečných diferencí pro parciální diferenciální rovnice
Metoda časové diskretizace pro řešení evolučních rovnic
Literatura:/1/ Nagy, J.: Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Praha, MVŠT, SNTL 1983
/2/ Míka, S. - Kufner,A.: Parciální diferenciální rovnice I. Stacionární rovnice. Praha, MVŠT, SNTL 1983.
/3/ Barták, J., Herrmann, L., Lovicar,V., Vejvoda,O.: Parciální diferenciální rovnice II. Evoluční rovnice. Praha, MVŠT, SNTL 1988.
/4/ Vitásek, E.: Numerické metody. Praha 1993
Prerekvizity: Matematika I. až V.Navazující: Metoda konečných prvků
Datum poslední změny: 13.12.2001